問題
2曲線，で囲まれた図形の概形をかき，この図形を軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．
出典：名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず二つの曲線の交点と上下関係を確認する。交点は で、区間 では が上、 が下になる。 軸のまわりの回転体なので、外半径 、内半径 のワッシャーとして、2乗の差を積分する。
解答
交点を求める。二つの曲線が交わるとき である。整理すると すなわち である。したがって で交わる。
次に上下関係を調べる。 である。よって では が上側、 が下側である。概形は、 と で接するように交わり、その間で上側が 、下側が となる対称な図形である。
この図形を 軸のまわりに回転する。外半径は であり、内半径は である。したがって体積 は である。
被積分関数を整理すると したがって 偶関数なので よって
別解の視点
上側と下側の差は だが、回転体の体積では差そのものではなく半径の2乗の差を積分する。面積計算と体積計算を混同しないことが大切である。