問題
1個のバクテリアが10分後に2個，1個，0個になる確率がそれぞれ，，であるとする．1個のバクテリアが，
(1) 20分後に2個になっている確率
(2) 30分後に6個になっている確率
を求めよ．
出典：名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
1個のバクテリアが10分後に 個になる確率を係数にもつ多項式 を使うと、20分後の分布は で表せる。(1)はその の係数を読む。(2)では30分後に6個になるには20分後が3個または4個でなければならないので、その二つの場合から次の10分で6個になる確率を数える。
解答
1個のバクテリアが10分後に作る個数の分布を で表す。ここで の係数が、個数が 個になる確率を表している。
(1)
20分後の分布は で表せる。実際、10分後に 個になり、その各個体がさらに独立に同じ規則で増えるからである。計算すると
したがって20分後に2個になっている確率は、 の係数で である。
(2)
30分後に6個になるためには、20分後の個数は3個または4個でなければならない。20分後の分布から である。
20分後に3個ある場合、30分後に6個になるには、3個すべてが2個になる必要がある。したがってその確率は 20分後に4個ある場合、30分後に6個になるには、4個の合計増殖数が6になればよい。最大は全員が2個になる8個なので、合計で2個分だけ不足する場合を数える。すなわち、一つが0個になり他の三つが2個になる場合、または二つが1個になり他の二つが2個になる場合である。確率は
したがって求める確率は
別解の視点
(1)は直接場合分けでも求められる。10分後に1個で、その1個が次に2個になる場合と、10分後に2個で、その2個の合計が2個になる場合を足すと
となる。