問題
1個のさいころを3回続けて投げ，出る目を順にとする。整式
について，以下の問いに答えよ。
(1) をみたす実数の個数が1個である確率を求めよ。
(2) をみたす自然数の個数が3個である確率を求めよ。
方針
全事象は の 通りである。(1)は2次方程式 の判別式 で場合分けする。 なら実数解は の1個だけ， なら重解が と一致するときだけ実数解が1個になる。 では2次式から少なくとも2個の実数解が出るので除外する。(2)は2次式が相異なる2つの自然数解をもつ を根の和と積で列挙し， がその2根と異なる4通りを数える。
解答
全事象は，さいころを3回投げるので 通りで，いずれも同様に確からしい。
(1)
2次方程式 の判別式を とおく。 の実数解は，この2次方程式の実数解と を合わせたものである。
まず のとき，2次方程式は実数解をもたない。したがって の実数解は だけで，ちょうど1個である。 について を満たす の個数を数えると，それぞれ である。よって となる は 通りである。この場合， は自由に6通りとれるので， 通りである。
次に のとき，2次方程式は重解 をもつ。 の実数解が1個になるためには，この重解と が一致しなければならない。さいころの目の範囲で ，すなわち が成り立つのは であり，それぞれ と決まる。したがって の2通りである。
のとき，2次方程式から相異なる2つの実数解が出るので， がその一方と一致しても実数解は少なくとも2個ある。よってこの場合は該当しない。
したがって，求める確率は である。
(2)
を満たす自然数 が3個になるためには，2次方程式 が相異なる2つの自然数解をもち，さらに がそれら2つとは異なる自然数でなければならない。
2次方程式の2つの自然数解を とし， とおく。このとき であり， はともにさいころの目なので である。この条件を満たす組を列挙すると， であり，対応する は の5通りである。
それぞれについて， は のうち，2つの根 と異なる値であればよい。したがって は 通りである。よって該当する場合の数は 通りである。
求める確率は である。