九州大学 2025年度文理共通数学文系・理系第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を整数とするとき， $n^{2}$ を8で割った余りは0，1，4のいずれかであることを示せ。

(2) $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす0以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

出典：九州大学 2025年度前期日程第2次学力試験文理共通文系・理系第3問

方針

(1)は整数を8で割った余りで分類し，平方したときの余りが $0, 1, 4$ に限られることを直接示す。(2)では $m = 0, 1, 2$ を先に確認する。 $m ≧ 3$ では $2^{m}$ が8の倍数になるので，方程式から $n^{2} \equiv 5 (mod 8)$ が必要になるが，これは(1)に反する。 $n$ も0以上であるため， $m = 2$ のときは $n = 1$ だけを採用する。

解答

(1)

整数 $n$ を8で割った余りで分類する。余りは $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, 4$ のいずれかとしてよい。それぞれを2乗して8で割った余りを見ると，

0^{2} \equiv 0, (\pm 1)^{2} \equiv 1, (\pm 2)^{2} \equiv 4, (\pm 3)^{2} \equiv 9 \equiv 1, 4^{2} \equiv 16 \equiv 0 (mod 8)

である。したがって，整数 $n$ に対して $n^{2}$ を8で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

(2)

$m, n$ は0以上の整数である。まず小さい $m$ を確認する。

$m = 0$ のとき $1 = n^{2} + 3$ となり，これは不可能である。 $m = 1$ のときも $2 = n^{2} + 3$ となり，不可能である。 $m = 2$ のときは $4 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = 1$ である。 $n$ は0以上なので，このとき $n = 1$ を得る。

次に $m ≧ 3$ とする。このとき $2^{m}$ は8で割り切れる。方程式 $2^{m} = n^{2} + 3$ を8で割った余りで見ると， $n^{2} + 3 \equiv 0 (mod 8)$ でなければならない。すなわち $n^{2} \equiv 5 (mod 8)$ が必要である。しかし(1)より，平方数を8で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかであり， $5$ にはならない。したがって $m ≧ 3$ の解はない。

以上より，求める組は $(m, n) = (2, 1)$ のみである。

九州大学 2025年度文理共通数学 文系・理系 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2025年度
文理共通数学文系・理系第3問