問題
座標平面上の原点，点を考える。点は第1象限にあり，，をみたすとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) を正の実数とし，をみたす点を考える。三角形と三角形の面積が等しく，が成り立つとき，の値を求めよ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1) は と置き，長さ条件 と垂直条件 を連立する。(2) は と表すと，三角形 の面積は 倍，三角形 の面積は 倍の基本面積になる。面積が等しいことから を得て，最後に で値を決める。
解答
(1)
とおく。 より である。また であり， だから である。すなわち より である。 を に代入すると すなわち である。よって となり， を得る。 は第1象限にあるので である。
(2)
であり， は正である。 と書くと， である。
三角形 の面積は である。ここで であり， だから である。同様に より である。
2つの面積が等しいので となり， である。したがって である。よって であり， から を得る。したがって である。