問題
2つの放物線
の両方に接する直線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 2つの放物線と直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
各放物線の接点の 座標を とおき，接線の傾きと切片を一致させる。共通接線が得られたら，2つの放物線の交点 と接点 の位置関係を確認する。囲まれた領域は では と直線， では と直線に挟まれるので，積分を2つに分けて面積を求める。
解答
(1)
の における接線を求める。導関数は であるから，接線は である。
また， の における接線を求める。導関数は であるから，接線は すなわち である。
この2つの接線が同じ直線であるから，傾きと切片を比べて である。したがって となる。これを代入すると より である。よって共通接線は である。
(2)
2つの放物線の交点は より である。接点は では ， では であるから，囲まれた領域は を境に分けて考える。 では， が直線 の上にあり，差は である。 では， が直線 の上にあり，差は である。
したがって求める面積は である。計算すると だから，面積は である。