問題
を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち，座標と座標がともに1以上以下の整数であるものを考える。これら個の点のうち3点以上を通る直線の個数をとする。以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。
方針
3点以上の格子点を通る直線は，隣り合う格子点へ進む基本移動 で分類する。 は互いに素としてよく，3点を含むには2回分の移動が正方形内に入るので，， が必要になる。 では水平・垂直・傾き だけ， ではさらに傾き が現れる。各傾きごとに，3点以上を含む切片の本数を数える。
解答
3点以上の格子点を通る直線を考える。直線上で隣り合う格子点への基本移動を とする。ただし は整数で， の最大公約数は としてよい。3点以上を通るなら，同じ方向へ2回進んだ点も格子内に入る必要があるので，横方向・縦方向の移動量は正方形の幅を超えられない。
(1)
の格子では，横に3点並ぶ直線が3本，縦に3点並ぶ直線が3本ある。斜め方向では，傾き の直線で3点を通るものは主対角線1本，傾き の直線で3点を通るものはもう一方の対角線1本だけである。
したがって である。
(2)
の格子では，横4本，縦4本がまずある。
傾き の直線 が3点以上を通るには， の3本に限られる。傾き についても同様に3本である。
それ以外の傾きについては，基本移動 のどちらかの絶対値が 以上になる。3点を含むには2回分の移動が必要なので，横または縦に少なくとも だけ動くことになり， の幅 を超える。したがって3点以上を通る直線はない。
よって である。
(3)
の格子では，横5本，縦5本がある。
傾き の直線で3点以上を通るものは， において の5本である。傾き の直線も同様に5本ある。
次に，傾き の直線を考える。基本移動は であり，3点を通るには が格子内に入る必要がある。これは ， から始まる3本である。したがって傾き は3本である。傾き は基本移動 で，同様に3本である。傾き ， についても，向きを反対にしただけなのでそれぞれ3本である。
最後に，これ以外の傾きがないことを確認する。 の中で3点以上を通るなら，基本移動 について でなければならない。よって は高々 である。互いに素な基本移動を考えると，水平・垂直を除いて現れる傾きは だけである。
したがって である。