問題
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数がをみたすとき，が成り立つことを示せ。
(2) をみたす自然数の組をすべて求めよ。
(3) をみたす自然数の組をすべて求めよ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系・理系 第3問
方針
(1) は と書き，因子 以外がすべて 以上であることを使う。(2) は が不可能であることを先に確認し， にしてから(1)で まで絞る。(3) は式が について対称なので とし， はすぐ解になる。 の場合は，，， の3場合に分けて，階乗の大小関係からすべて矛盾させる。
解答
(1)
であるから である。この積には因子 が含まれ，それ以外の因子 は，存在すればすべて 以上である。したがって が成り立つ。
(2)
とする。もし なら である。一方， なので， は成り立たない。よって である。
このとき である。(1)より だから となる。自然数で かつ を満たすのは だけである。実際， なので，求める組は である。
(3)
方程式 は について対称であるから， として考えてよい。
まず のとき， より である。階乗は自然数に対して増加するので となる。したがって はすべて解である。
次に と仮定し，矛盾を導く。このとき である。
もし なら， である。また より だから である。しかし なので であり， に反する。
したがって である。 なら より となり， を意味する。これは に反する。
残る の場合は， なので である。一方 から であり， となる。これも に反する。
よって の場合に解はない。以上より，すべての解は である。