九州大学 2017年度
文系数学 前期 第2問

解答

(1)

$a=1$のとき$A(1,1)$である。$△OAB$が正三角形であるためには，$B$は点$A$を原点のまわりに$60^{\circ }$または$-60^{\circ }$回転した点である。

点$(x,y)$を$60^{\circ }$回転すると $\left(\frac{x-\sqrt{3}y}{2},\frac{\sqrt{3}x+y}{2}\right)$ となる。したがって$(1,1)$を回転して $\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ を得る。また$-60^{\circ }$回転では $\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$ を得る。よって求める$(s,t)$は

である。

(2)

$\sqrt{3}$が有理数であると仮定する。互いに素な自然数$m,n$を用いて $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ と表せるとする。このとき $m^2=3n^2$ であるから，$m^2$は3の倍数である。よって$m$も3の倍数であり，$m=3r$とおける。すると $9r^2=3n^2$ より $n^2=3r^2$ であるから，$n$も3の倍数である。これは$m,n$が互いに素であることに反する。したがって$\sqrt{3}$は無理数である。

(3)

$△OAB$が正三角形であるとき，$B$は$A(1,a)$を原点のまわりに$\pm 60^{\circ }$回転した点である。したがって $(s,t)=\left(\frac{1-a\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+a}{2}\right)$ または $(s,t)=\left(\frac{1+a\sqrt{3}}{2},\frac{a-\sqrt{3}}{2}\right)$ である。

ここで$a$は有理数であるとする。もし$s,t$がともに有理数であれば，第1の場合には $\sqrt{3}=2t-a$ となり，第2の場合には $\sqrt{3}=a-2t$ となる。いずれの場合も右辺は有理数であるから，$\sqrt{3}$が有理数になってしまう。これは(2)に反する。よって$s$と$t$のうち少なくとも1つは無理数である。