問題
定数に対し，放物線，を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 放物線，の両方に接する2つの直線の方程式をそれぞれを用いて表せ。
(2) と(1)で求めた2つの直線で囲まれた図形の面積を，と(1)で求めた2つの直線で囲まれた図形の面積をとするとき，を求めよ。
出典：九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
共通接線をそれぞれの放物線上の接点から表す。の接点を，の接点をとし，接線の傾きと切片が一致する条件から，を得る。面積は左右対称性を使い，接線と放物線の差を平方の形にして積分する。最後に比を取るので，の値そのものより接点間の拡大率に注目する。
解答
(1)
のにおける接線を求める。導関数はであるから，接線は である。
またのにおける接線は，導関数がであるから である。これらが同じ直線であるためには，傾きと切片が一致すればよいので が必要十分である。第1式からであり，これを第2式へ代入すると すなわち である。よりなので を得る。したがって，2つの共通接線は であり，切片を整理して である。
(2)
とおく。では接点がであり，右半分では上側の境界が，下側の境界が右側の接線 である。差は であるから，左右対称性より である。
一方，の接点はである。右半分で上側の境界は右側の接線，下側の境界はであり，差は である。したがって である。よって である。
別解。放物線と接線でできる面積は，接点から横に測った距離の二乗を積分する形になる。側の横幅は片側で，差はであり，側の横幅は片側で，差はである。係数と幅の違いだけを比で見ると とすぐに分かる。