問題
袋の中に，赤玉が15個，青玉が10個，白玉が5個入っている。袋の中から玉を1個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える。
（操作） コインが点にあるものとする。赤玉を取り出したときにはコインを点に移動，青玉を取り出したときには点に移動，白玉を取り出したときには点に移動し，取り出した球は袋に戻す。
最初に原点にコインを置き，この操作を繰り返して行う。指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 操作を回繰り返したとき，白玉を1度だけ取り出したとする。このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ。
(2) 操作を回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ。
(3) 座標平面上の4点，，，を頂点とする正方形を考える。操作を回繰り返したとき，到達点がの内部または辺上にある確率をとする。を求めよ。
(4) 自然数に対してを求めよ。
方針
赤・青・白の出た回数を とおくと、 かつ到達点は で表せる。この表現で(1)(2)は個数問題になり、(3)(4)は ， を満たす回数の組を探す問題になる。確率は、各色の確率 と多項係数で計算する。
解答
赤玉、青玉、白玉を取り出した回数をそれぞれ とする。各操作で赤は 、青は 、白は だけ動かすので、 回後の到達点は である。また である。各色の確率は
である。
(1)
白玉を1度だけ取り出したので であり、 である。このとき到達点は である。 と動かすと であるから、到達点は である。
(2)
白玉を 回取り出したとする。このとき であり、到達点は である。 を固定すると と動かせるので、到達点は 個ある。
さらにこのとき である。 が異なると右辺 が異なるため、異なる から同じ到達点が重複して数えられることはない。したがって到達点の個数は である。
(3)
のとき、正方形 の内部または辺上にある条件は である。 を満たす非負整数の組を調べると、この条件を満たすのは である。それぞれの確率は
である。よって である。
(4)
とする。正方形 内にある条件は である。そこで とおくと、 はそれぞれ のいずれかである。また だから、 は3の倍数でなければならない。ところが は 以上 以下なので、結局 である。したがって可能な組は の3つだけである。
まず の確率は
である。 の確率はこの確率の 倍であり、 の確率はこの確率の 倍である。したがって
であり、括弧内を整理して を得る。