九州大学 2016年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

座標平面において， $x$ 軸上に3点 $(0, 0)$ ， $(α, 0)$ ， $(β, 0)$ $(0 < α < β)$ があり，曲線 $C : y = x^{3} + a x^{2} + b x$ が $x$ 軸とこの3点で交わっているものとする。ただし， $a$ ， $b$ は実数である。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積の和を $S$ とする。 $S$ を $α$ と $β$ の式で表せ。

(2) $β$ の値を固定して， $0 < α < β$ の範囲で $α$ を動かすとき， $S$ を最小とする $α$ を $β$ の式で表せ。

出典：九州大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

3つの交点が $0, α, β$ なので、曲線は $y = x (x - α) (x - β)$ と因数分解できる。 $0 < x < α$ と $α < x < β$ で符号が変わるため、面積和は正の部分と負の部分を分けて積分する。(2)では $β$ を定数と見て $S$ を $α$ で微分し、 $0 < α < β$ に入る臨界点と端の挙動を確認する。

解答

(1)

曲線 $C$ は $x$ 軸と $x = 0, α, β$ で交わるので $y = x (x - α) (x - β)$ と表せる。 $0 < x < α$ では $x > 0$ ， $x - α < 0$ ， $x - β < 0$ だから $y > 0$ であり、 $α < x < β$ では $y < 0$ である。

原始関数を $F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - \frac{α + β}{3} x^{3} + \frac{α β}{2} x^{2}$ とおく。すると

\int_{0}^{α} x (x - α) (x - β) d x = F (α) = - \frac{α ^{4}}{12} + \frac{α ^{3} β}{6}

であり、また

\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = F (β) = - \frac{β ^{4}}{12} + \frac{α β ^{3}}{6}

である。面積の和は

S = \int_{0}^{α} y d x - \int_{α}^{β} y d x = 2 \int_{0}^{α} y d x - \int_{0}^{β} y d x

だから、

S = 2 (- \frac{α ^{4}}{12} + \frac{α ^{3} β}{6}) - (- \frac{β ^{4}}{12} + \frac{α β ^{3}}{6})

である。よって $S = \frac{β ^{4} - 2 α ^{4} + 4 α ^{3} β - 2 α β ^{3}}{12}$ を得る。

(2)

$β$ を定数として $S$ を $α$ で微分する。

\frac{d S}{d α} = \frac{- 8 α ^{3} + 12 α ^{2} β - 2 β ^{3}}{12} = - \frac{( 2 α - β ) ( 2 α ^{2} - 2 α β - β ^{2} )}{6}

である。ここで $2 α^{2} - 2 α β - β^{2} = 0$ の解は $α = \frac{1 \pm 3}{2} β$ であり、 $0 < α < β$ に入るものはない。したがって $0 < α < β$ の範囲で臨界点となるのは $2 α - β = 0, α = \frac{β}{2}$ だけである。

また $0 < α < β$ では $2 α^{2} - 2 α β - β^{2} < 0$ である。したがって $d S / d α$ は $0 < α < β /2$ で負、 $β /2 < α < β$ で正となる。よって $S$ は $α = β /2$ で最小となる。 $α = \frac{β}{2}$ である。

別解。(2)では $u = α / β$ とおくと、 $S = β^{4} {1 - 2 u^{4} + 4 u^{3} - 2 u} /12$ となる。 $β$ は固定なので、 $0 < u < 1$ で括弧内を最小にすればよい。微分すると同じく $u = 1/2$ だけが範囲内の極小点となり、 $α = β /2$ を得る。文字の次数を先にそろえるため、符号判定が見やすい。

九州大学 2016年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2016年度
文系数学前期第1問