問題
自然数に対して，を13で割った余りをとおく。は0から12までの整数である。以下の問いに答えよ。
(1) はを13で割った余りに等しいことを示せ。
(2) を求めよ。
(3) 以下の3条件を満たす自然数をすべて求めよ。
(i) を十進数で表示したとき6桁となる。
(ii) を十進数で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと2016となる。
(iii) は13で割り切れる。
出典：九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第4問
方針
まず を使い、余りを次々に出す仕組みを証明する。6桁の数は と表せるので、(2)で求めた の余りと の余りを使って、 と の合同条件に落とし込む。最後は を調べ、 を満たすものだけを残す。
解答
(1)
を13で割った商を 、余りを とすると と書ける。両辺を10倍して となる。したがって を13で割った余りは、 を13で割った余りに等しい。よって は を13で割った余りである。
(2)
(1)を順に用いる。 であり、
さらに である。したがって である。
(3)
条件(i)(ii)より、 は と書ける。ただし は1から9までの整数、 は0から9までの整数である。
(2)より を13で割った余りは である。また であるから、 が13で割り切れる条件は すなわち である。
について、 を満たすものを調べると
である。よって許される組は である。したがって求める自然数は である。
別解。(3)は ， を直接使えばよい。 であるから、 という1本の合同式だけを調べれば済む。周期表を作る解法と同じ計算だが、6桁の構造を先に式にするので、候補の抜けを防ぎやすい。