問題
をを満たす実数とする。面積が1である三角形において，辺，，をそれぞれ，，に内分する点を，，とする。また，と，と，との交点をそれぞれ，，とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 3直線，，が1点で交わるときのの値を求めよ。
以下，はを満たすものとする。
(2) ，を満たす実数，をそれぞれ求めよ。
(3) 三角形の面積を求めよ。
(4) 三角形の面積を求めよ。
方針
面積比はアフィン変換で保たれるので、三角形を扱いやすい座標に置いてよい。まず ，， として面積を1にそろえ、内分点 の座標を出す。(1)はCevaの定理で共点条件を確認し、(2)以降は各直線をパラメータ表示して を求める。最後の面積は、座標の差の行列式を使うと符号と分母を一括して整理できる。
解答
，， とおく。この三角形の面積は であり、内分比と面積比はこの座標化で変わらない。内分点は
である。
(1)
，， である。3直線 ，， が1点で交わるためのCevaの条件は であるから、 となる。これを解いて より である。
(2)
は 上にあるので、 とおくと である。また は 上にもあるから、ある実数 を用いて と表せる。座標を比較すると である。第1式から であり、これを第2式に代入して すなわち を得る。したがって である。
次に は 上にあるので、 とおくと である。また は 上にもあるから、ある実数 を用いて と表せる。座標を比較して を得る。第2式から であり、これを第1式に代入すると である。よって となるから である。
(3)
は と の交点である。 上で とおき、 上で とおく。座標を比較すると である。第2式から であり、これを第1式に代入して より を得る。したがって である。三角形 の面積は
である。
(4)
(2)より
であり、(3)より である。したがって である。差を代入して分母を にそろえると となる。いま なので分母 は正であり、面積は である。 で3直線が共点となり、 が一致して面積が0になることも、この式と一致している。
別解。共点条件だけなら、座標を置かずにCevaの定理から直ちに出せる。，， であるから となり、同じく を得る。座標解法ではこのあと同じ座標のまま の位置まで追えるので、(2)から(4)までを一続きに処理できる。