問題
鋭角三角形について，，，の大きさを，それぞれとする。の重心を，外心をとし，外接円の半径をとする。
(1) とから辺に下ろした垂線を，それぞれ，とする。このとき，
を証明せよ。
(2) とが一致するならばは正三角形であることを証明せよ。
(3) が正三角形でないとし，さらにがと平行であるとする。このとき，
を証明せよ。
方針
(1) は外接円の半径 と正弦定理から を出し、高さ とする。 は外心から弦 までの距離で、中心角 を使えば となる。(2) は外心を原点に置き、3頂点の位置ベクトルの和が0になることから、中心角がすべて120度であることを示す。(3) は を水平に置き、 から外心と重心の からの距離が等しいことを使う。
解答
(1)
正弦定理より である。 は辺 への高さなので、直角三角形 から である。したがって を得る。
次に を求める。 は外心であり、 だから、 は弦 の中点である。中心角 は、円周角 の2倍なので である。よって直角三角形 で となる。 だから である。三角形は鋭角なので は三角形の内部にあり、 は正の長さとして扱える。
(2)
外心 を原点とし、頂点 の位置ベクトルをそれぞれ とする。外接円の半径が なので である。重心 が外心 と一致するなら すなわち である。
この式と 、、 との内積をそれぞれ取ると である。これらを比較すると となる。したがって、3つの中心角 はすべて である。外接円の等しい中心角に対する弦は等しいので である。よって は正三角形である。
(3)
を水平に置き、 を への高さとする。重心 は中線 上にあり、頂点 から底辺 へ向かって に中線を分ける。したがって、 の からの距離は である。
条件 より、 と は からの距離が等しい。 から への垂線の長さは だから であり、 を得る。
(1) の結果をこの等式に代入すると である。 だから である。ここで なので である。したがって となる。整理して を得る。三角形は鋭角なので であり、両辺を で割って である。