九州大学 2014年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

座標平面上の直線 $y = - 1$ を $l_{1}$ ，直線 $y = 1$ を $l_{2}$ とし， $x$ 軸上の2点 $O (0, 0)$ ， $A (a, 0)$ を考える。点 $P (x, y)$ について，次の条件を考える。

d (P, l_{1}) ≧ P O かつ d (P, l_{2}) ≧ P A \dots\dots\dots (A)

ただし， $d (P, l)$ は点 $P$ と直線 $l$ の距離である。

(1) 条件(A)を満たす点 $P$ が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 条件(A)を満たす点 $P$ 全体がなす図形の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。ただし， $a$ の値は(1)で求めた範囲にあるとする。

出典：九州大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

点 $P (x, y)$ から直線 $y = - 1$ 、 $y = 1$ への距離はそれぞれ $∣ y + 1∣$ 、 $∣ y - 1∣$ であるが、不等式は両辺が非負なので平方してよい。平方して整理すると、条件は下に凸の放物線 $y ≧ (x^{2} - 1) /2$ と上に凸の放物線 $y ≦ {1 - (x - a)^{2}} /2$ の間の領域になる。存在条件は上下の差が正になる $x$ があること、面積は上下差の2次式を積分することで求める。

解答

点 $P (x, y)$ について、直線 $l_{1} : y = - 1$ までの距離は $d (P, l_{1}) = ∣ y + 1∣$ であり、直線 $l_{2} : y = 1$ までの距離は $d (P, l_{2}) = ∣ y - 1∣$ である。また $P O = x^{2} + y^{2}, P A = (x - a)^{2} + y^{2}$ である。

条件(A)の2つの不等式は両辺が非負なので、平方して同値に変形できる。まず $(y + 1)^{2} ≧ x^{2} + y^{2}$ より $2 y + 1 ≧ x^{2}$ すなわち $y ≧ \frac{x ^{2} - 1}{2}$ である。次に $(y - 1)^{2} ≧ (x - a)^{2} + y^{2}$ より $- 2 y + 1 ≧ (x - a)^{2}$ すなわち $y ≦ \frac{1 - ( x - a ) ^{2}}{2}$ である。

したがって条件(A)を満たす点が存在するためには $\frac{x ^{2} - 1}{2} ≦ \frac{1 - ( x - a ) ^{2}}{2}$ となる実数 $x$ が存在すればよい。これは $x^{2} + (x - a)^{2} ≦ 2$ と同値である。左辺を平方完成すると $x^{2} + (x - a)^{2} = 2 (x - \frac{a}{2})^{2} + \frac{a ^{2}}{2}$ である。最小値は $x = a /2$ のとき $a^{2} /2$ だから、存在条件は $\frac{a ^{2}}{2} ≦ 2$ すなわち $- 2 ≦ a ≦ 2$ である。

次に面積を求める。上側の放物線と下側の放物線の差は

\frac{1 - ( x - a ) ^{2}}{2} - \frac{x ^{2} - 1}{2} = 1 - \frac{x ^{2} + ( x - a ) ^{2}}{2} = 1 - (x - \frac{a}{2})^{2} - \frac{a ^{2}}{4}

である。ここで $R^{2} = 1 - \frac{a ^{2}}{4}$ とおくと、 $- 2 ≦ a ≦ 2$ より $R ≧ 0$ であり、上下の差は $R^{2} - (x - \frac{a}{2})^{2}$ となる。領域が存在する $x$ の範囲は $x - \frac{a}{2} ≦ R$ である。

したがって $u = x - a /2$ とおくと、面積 $S$ は

S = \int_{- R}^{R} (R^{2} - u^{2}) d u = [R^{2} u - \frac{u ^{3}}{3}]_{- R}^{R} = \frac{4}{3} R^{3}

である。よって $S = \frac{4}{3} (1 - \frac{a ^{2}}{4})^{3/2}$ である。端点 $a = \pm 2$ では $R = 0$ となり、面積は0である。

九州大学 2014年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

九州大学 2014年度
文系数学前期第1問