問題
Aさんは5円硬貨を3枚，Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない。このゲームについて，以下の問いに答えよ。
(1) AさんがBさんに勝つ確率，および引き分けとなる確率をそれぞれ求めよ。
(2) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値を求めよ。
方針
Aの表の枚数を として、Aの得点、場合の数、負けたときに残る金額をまとめる。Bは2枚の硬貨の表裏4通りについて、得点と裏硬貨の金額を表にする。勝敗数はこの2つの表の組み合わせで数える。期待値は、各場合でゲーム終了後にAが持つ金額を計算して全32通りで平均する。別解として、Aが勝てばBの裏硬貨を得て、Aが負ければAの裏硬貨を失う、という増減額で期待値を検算する。
解答
(1)
Aさんの表の枚数を とすると、Aさんの表金額は 円であり、そのような出方は 通りである。したがって Aさん側は
である。
Bさんは5円硬貨と10円硬貨を1枚ずつ持っているので、表金額は の4通りであり、それぞれ1通りずつ起こる。全体の場合の数は 通りである。
Aさんが勝つ場合を数える。Aの表金額が5円のときは、Bが0円のときだけ勝つので 通り。Aが10円のときは、Bが0円または5円のとき勝つので 通り。Aが15円のときは、Bが0円、5円、10円のとき勝つので 通りである。よって であり、 である。
引き分けは、AとBの表金額が等しい場合である。金額0,5,10,15に対して場合の数はそれぞれ なので、合計 通りである。したがって である。
(2)
ゲーム終了後にAさんが持つ金額を数える。Bさんの4通りについて、表金額と裏硬貨の合計金額は
である。
Aさんが勝つと、Aさんは自分の15円に加えてBさんの裏硬貨を得る。Aさんが負けると、Aさんは自分の裏硬貨を相手に渡すので、Aさんの手元には表が出た硬貨の金額だけが残る。引き分けなら硬貨のやりとりはなく、Aさんは15円のままである。
Aの表金額ごとに、Bの4通りに対するAの終了後金額の合計を出すと
である。よって全32通りにおけるAさんの終了後金額の総和は である。したがって期待値は である。
別解。期待値の検算として、Aさんの最終金額を と見てもよい。Bの各出方に対してAの勝つ表金額を数えれば得る金額の総和が、Aの各表枚数に対して負けるBの表金額を数えれば失う金額の総和が出る。これを全32通りで集計しても、最終金額の総和は同じく となり、 円を得る。