問題
さいころを投げて出た目の数が1または6ならば君に赤玉を1つ与え，出た目の数が2，3，4，5のいずれかであれば君に白玉を1つ与える．これをくり返して，君が赤玉を2個得るか，君が白玉を3個得ればゲームは終了するものとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 君が白玉を3個得てゲームが終了する確率を計算せよ．
(2) ゲームが終了するまでにさいころを投げた回数を確率変数とするとき，の確率分布を求めよ．
方針
赤玉が出る確率を 、白玉が出る確率を とおく。(1)は、白玉3個で終了する最後の試行が白玉であることに注目し、その直前の赤玉数で分類する。(2)は終了回数が のいずれかしかないので、各回数について最後の試行と直前の個数を数える。
解答
(1)
赤玉が出ることを 、白玉が出ることを と書く。さいころの目が または のとき赤玉なので また、さいころの目が のとき白玉なので 君が白玉を3個得てゲームが終了するには、最後の試行が でなければならない。終了までの回数は3回または4回である。
3回で白玉3個により終了する場合は だけであり、その確率は 4回で白玉3個により終了する場合は、最初の3回の中に が1回、 が2回あり、4回目が である。最初の3回における の位置は3通りなので、その確率は したがって求める確率は
(2)
ゲームが終了するまでの回数 は、最短で赤玉2個が出る2回、最長で4回である。したがって だけを調べればよい。 となるのは の場合だけである。よって となるのは二種類ある。一つは で白玉3個により終了する場合であり、確率は もう一つは3回目に が出て赤玉2個により終了する場合である。このとき最初の2回には と が1回ずつ出ている必要がある。その並びは2通りなので、確率は したがって 最後に より よって確率分布は
である。