九州大学 1983年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$\frac{dx}{dt}=x$ を満たす関数は $x(t)=A{e}^t$ と書ける。また $\frac{dy}{dt}=-2y$ を満たす関数は $y(t)=B{e}^{-2t}$ と書ける。したがって $z(t)=x(t)+y(t)=A{e}^t+B{e}^{-2t}$ である。 $z(t)$ が $t=\log 2$ で極値3をとるから $z(\log 2)=3,z^{\prime }(\log 2)=0$ である。まず $e^{\log 2}=2,e^{-2\log 2}=\frac{1}{4}$ なので $2A+\frac{1}{4}B=3.$ また $z^{\prime }(t)=A{e}^t-2B{e}^{-2t}$ であるから $2A-\frac{1}{2}B=0.$ 二つ目の式より $B=4A.$ これを一つ目の式に代入すると $2A+A=3$ であり、$A=1,B=4.$ したがって $z(t)=e^t+4e^{-2t}$ である。

(2)

まず $z^{\prime }(t)=e^t-8e^{-2t},z^{\prime \prime }(t)=e^t+16e^{-2t}.$ 任意の実数 $t$ について $z^{\prime \prime }(t)>0$ であるから、$z^{\prime }(t)$ は単調に増加する。

固定した $t$ に対して $H(s)=z(s)-z(t)-(s-t)z^{\prime }(t)$ とおく。示したい不等式は $H(s)\geqq 0$ である。微分すると $H^{\prime }(s)=z^{\prime }(s)-z^{\prime }(t).$ $z^{\prime }$ は単調に増加するので、$s<t$ のとき $H^{\prime }(s)<0$ であり、$s>t$ のとき $H^{\prime }(s)>0$ である。したがって $H(s)$ は $s=t$ で最小となる。さらに $H(t)=z(t)-z(t)=0$ であるから、すべての $s,t$ について $H(s)\geqq 0.$ すなわち $z(s)\geqq z(t)+(s-t)z^{\prime }(t)$ が成り立つ。