京都大学 2026年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して， $l ≦ x$ を満たす最大の整数 $l$ を $[x]$ で表す．正の整数 $n$ に対して， $a_{n} = k = 1 \sum n [lo g_{3} k]$ と定める．

(1) $a_{26}$ を求めよ．

(2) $N$ を正の整数とし， $m = 3^{N} - 1$ とするとき， $a_{m}$ を $N$ を用いて表せ．

出典：京都大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

$[lo g_{3} k] = j$ となるのは， $3^{j} ≦ k < 3^{j + 1}$ のときである。この範囲にある整数 $k$ の個数は $3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ 個である。(1)では $1 ≦ k ≦ 26$ を $[1, 2], [3, 8], [9, 26]$ に分ける。(2)では $m = 3^{N} - 1$ なので， $j = 0, 1, \dots, N - 1$ の階層が欠けずにそろい， $a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} 2 j 3^{j}$ を計算すればよい。

解答

(1)

$[lo g_{3} k]$ は， $3^{j} ≦ k < 3^{j + 1}$ のとき $j$ である。 $1 ≦ k ≦ 26$ では， $1 ≦ k ≦ 2$ のとき $[lo g_{3} k] = 0$ ， $3 ≦ k ≦ 8$ のとき $[lo g_{3} k] = 1$ ， $9 ≦ k ≦ 26$ のとき $[lo g_{3} k] = 2$ である。

それぞれの個数は $2, 6, 18$ 個であるから， $a_{26} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 18 = 42$ である。したがって $a_{26} = 42$ である。

(2)

$m = 3^{N} - 1$ とする。 $j = 0, 1, \dots, N - 1$ について， $3^{j} ≦ k ≦ 3^{j + 1} - 1$ のとき $[lo g_{3} k] = j$ である。この範囲の整数 $k$ の個数は $(3^{j + 1} - 1) - 3^{j} + 1 = 3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ である。 $m = 3^{N} - 1$ なので， $j = N - 1$ までの範囲がちょうどすべて含まれる。

したがって $a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} 2 j 3^{j}$ である。ここで $T = \sum_{j = 0}^{N - 1} j 3^{j}$ とおく。すると $3 T = \sum_{j = 0}^{N - 1} j 3^{j + 1} = \sum_{j = 1}^{N} (j - 1) 3^{j}$ であるから， $3 T - T = (N - 1) 3^{N} - \sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j}$ である。右辺の和は $\sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j} = \frac{3 ^{N} - 3}{2}$ なので， $2 T = (N - 1) 3^{N} - \frac{3 ^{N} - 3}{2} = \frac{( 2 N - 3 ) 3 ^{N} + 3}{2}$ である。したがって $T = \frac{3 + ( 2 N - 3 ) 3 ^{N}}{4}$ である。

ゆえに $a_{m} = 2 T = \frac{3 + ( 2 N - 3 ) 3 ^{N}}{2}$ である。

京都大学 2026年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2026年度
文系数学第4問