京都大学 2026年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系学部
- 分野
- 積分、図形と方程式
- 解法
- 接線・法線、面積計算、微分による最大最小
- 難易度
- 5 / 10 計算量 6 / 10 目安 18分
問題
tは0<t<1を満たす実数とする．座標平面において，円C:x2+y2=1上で，y座標がtであり，さらに第1象限にある点Pをとる．点PにおけるCの接線をlとし，放物線y=2−x2と接線lで囲まれる図形の面積をSとする．tが0<t<1の範囲を動くとき，Sの最小値を求めよ．
出典：京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
円上の点を P=(s,t)，s=1−t2 とおく。円 x2+y2=1 の点 (s,t) における接線は sx+ty=1 である。放物線 y=2−x2 とこの直線の上下差は，交点を根にもつ下に凸でない2次式になるので，判別式と根の間隔から面積を求める。面積は t の関数 S=(7t2−4t+1)3/2/(6t3) になり，これは (7t2−4t+1)/t2 を最小化すればよい。
解答
点 P は第1象限にあり，y 座標が t であるから，P=(s,t),s=1−t2 とおける。円 x2+y2=1 の点 (s,t) における接線は sx+ty=1 である。したがって接線 l は y=t1−sx と表される。
放物線 y=2−x2 と直線 l の差をとると
2−x2−t1−sx=t−tx2+sx+2t−1=−t1{tx2−sx+1−2t}
である。交点の x 座標は，2次方程式 tx2−sx+1−2t=0 の2つの解である。この判別式を D とすると D=s2−4t(1−2t)=(1−t2)−4t+8t2=7t2−4t+1 である。なお 7t2−4t+1=7(t−72)2+73>0 なので，2つの交点は常に存在する。
2つの解を α<β とすると，根の間隔は β−α=tD である。また上下差は，α≦x≦β で 2−x2−t1−sx=(x−α)(β−x) と書ける。したがって面積 S は
S=∫αβ(x−α)(β−x)dx=6(β−α)3=6t3D3/2
である。よって
S=6t3(7t2−4t+1)3/2=61(7−t4+t21)3/2
である。
したがって，0<t<1 において F(t)=7−t4+t21 を最小にすればよい。微分すると F′(t)=t24−t32=t34t−2 である。0<t<1 では分母が正なので，F′(t)<0 となるのは 0<t<1/2，F′(t)>0 となるのは 1/2<t<1 である。よって F(t) は t=21 で最小となる。
このとき F(21)=7−8+4=3 であるから，求める面積の最小値は Smin=61⋅33/2=23 である。
