京都大学 2026年度文理共通数学文系第5問・理系第6問解答・解説

問題

$n$ は3以上の整数とする．1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚の札が袋に入っている．ただし，同じ番号が書かれた札はないとする．この袋から3枚の札を同時に取り出し，一番大きな番号をXとする．Xの期待値を求めよ．

出典：京都大学 2026年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第5問・理系第6問

方針

最大値 $X$ が $k$ になるには，番号 $k$ の札を必ず取り，残り2枚を $1, 2, \dots, k - 1$ から選べばよい。したがって $P (X = k) =_{k - 1} C_{2} /_{n} C_{3}$ である。期待値は $\sum k P (X = k)$ を計算する。和の中の $k_{k - 1} C_{2}$ は $3_{k} C_{3}$ に直せるので，組合せの和 $\sum_{k} C_{3} =_{n + 1} C_{4}$ を使って整理する。

解答

最大値 $X$ が $k$ になる場合を数える。 $X = k$ となるためには，番号 $k$ の札を取り，残り2枚は $1, 2, \dots, k - 1$ の中から選ばれなければならない。したがって $k$ は $3 ≦ k ≦ n$ を満たし， $P (X = k) = \frac{_{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}}$ である。

よって期待値は

E (X) = k = 3 \sum n k P (X = k) = \frac{\sum _{k = 3}^{n} k _{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}}

である。

ここで

k_{k - 1} C_{2} = k \cdot \frac{( k - 1 ) ( k - 2 )}{2} = 3 \cdot \frac{k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{6} = 3_{k} C_{3}

である。したがって $E (X) = \frac{3 \sum _{k = 3}^{n} _{k} C _{3}}{_{n} C _{3}}$ である。

また，恒等式 $\sum_{k = 3}^{n}_{k} C_{3} =_{n + 1} C_{4}$ が成り立つ。これは， $1, 2, \dots, n + 1$ から4個を選び，その最大値を $k + 1$ としたとき，残り3個を $1, 2, \dots, k$ から選ぶと考えれば分かる。

よって $E (X) = \frac{3 _{n + 1} C _{4}}{_{n} C _{3}}$ である。これを整理すると

\frac{_{n + 1} C _{4}}{_{n} C _{3}} = \frac{\frac{( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{24}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}} = \frac{n + 1}{4}

であるから， $E (X) = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$ である。

京都大学 2026年度文理共通数学 文系第5問・理系第6問

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