京都大学 2026年度
文理共通数学 文系第2問・理系第2問

解答

辺 $OA$ の中点を $M$，辺 $BC$ の中点を $N$ とする。正四面体では，対辺 $OA$ と $BC$ は垂直であり，また $MN$ は両方の辺に垂直である。正四面体の1辺の長さは1なので，三角形 $OBC$ は1辺の長さが1の正三角形である。したがって，頂点 $O$ から辺 $BC$ の中点 $N$ までの距離は $ON=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

また $OM=1/2$ であり，$MN\perp OA$ だから $M{N}^2=O{N}^2-O{M}^2=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ である。よって $MN=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

点 $P$ を辺 $OA$ 上にとる。$MP=u$ とおくと，$P$ が辺 $OA$ 上を動くとき $-\frac{1}{2}\leqq u\leqq \frac{1}{2}$ である。辺 $BC$ 上の点 $Q$ を，$NQ=v$ と表す。ただし $-\frac{1}{2}\leqq v\leqq \frac{1}{2}$ である。$OA,BC,MN$ は互いに直交する方向にあるので，$P{Q}^2=M{P}^2+M{N}^2+N{Q}^2=u^2+\frac{1}{2}+v^2$ である。

したがって，$P$ と $Q$ がそれぞれ辺 $OA$，辺 $BC$ 上を動くとき，距離 $PQ$ の2乗は $u^2+v^2+\frac{1}{2}$ の形で表される。ただし $u^2\leqq 1/4$，$v^2\leqq 1/4$ であるから，その最小値は $\frac{1}{2}$ であり，最大値は $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$ である。また $u,v$ は連続的に動くので，距離 $PQ$ の取りうる値は $\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq PQ\leqq 1$ のすべてである。

点 $P$ を中心とする半径 $r$ の球面が辺 $BC$ と共有点をもつのは，ある $Q\in BC$ について $PQ=r$ となるときである。したがって，どこかの $P\in OA$ で共有点が生じる半径は $\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq r\leqq 1$ である。

問題では，点 $P$ が辺 $OA$ 上のどこにあっても共有点をもたないことを要求している。よって求める $r$ の範囲は，この区間の外側であり，$r>0$ に注意して $\boxed{0<r<\frac{1}{\sqrt{2}},1<r}$ である。