問題
整式が恒等式
を満たすとき，を求めよ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
積分部分は と展開し，，， という定数で表す。右辺が2次式なので も2次以下である。 とおき，偶奇性を使って必要な積分値を計算して係数比較する。
解答
とおく。すると である。したがって与えられた恒等式は となる。右辺は2次式であり，積分部分も の2次式なので， も2次以下である。
そこで とおく。このとき，奇関数の積分が0であることを用いると であり， である。また である。
恒等式の係数を比較すると である。すなわち となる。これを解くと，まず第2式から である。また残り2式は であり，解いて を得る。したがって である。
最後に，求めた候補を確認する。 なら であるから
となり，確かに条件を満たす。上の係数比較で解は一意に定まっているので，これが求める整式である。