京都大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は次の条件を満たしている．

a_{1} = 3, a_{n} = \frac{S _{n}}{n} + (n - 1) \cdot 2^{n} (n = 2, 3, 4, \dots\dots)

ただし， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots\dots + a_{n}$ である．このとき，数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：京都大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

和 $S_{n}$ を含むので，まず $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を代入して $S_{n} / n$ の漸化式へ変形する。 $b_{n} = S_{n} / n$ とおくと $b_{n} = b_{n - 1} + 2^{n}$ という階差型になる。これを和で解いて $S_{n}$ を求め，最後に $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ へ戻す。 $n = 1$ でも同じ式が成り立つことを確認する。

解答

$n ≧ 2$ とする。定義より $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ であるから，条件式は $S_{n} - S_{n - 1} = \frac{S _{n}}{n} + (n - 1) 2^{n}$ となる。 $S_{n}$ を含む項を左辺へ集めると $S_{n} - \frac{S _{n}}{n} = S_{n - 1} + (n - 1) 2^{n}$ であり， $\frac{n - 1}{n} S_{n} = S_{n - 1} + (n - 1) 2^{n}$ となる。両辺を $n - 1$ で割って $\frac{S _{n}}{n} = \frac{S _{n - 1}}{n - 1} + 2^{n}$ を得る。

ここで $b_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ とおく。 $S_{1} = a_{1} = 3$ なので $b_{1} = 3$ であり，上の式から $b_{n} = b_{n - 1} + 2^{n} (n ≧ 2)$ である。したがって

b_{n} = 3 + k = 2 \sum n 2^{k} = 3 + (2^{n + 1} - 4) = 2^{n + 1} - 1

である。

よって $S_{n} = n (2^{n + 1} - 1)$ である。 $n ≧ 2$ では

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n (2^{n + 1} - 1) - (n - 1) (2^{n} - 1) = {2 n - (n - 1)} 2^{n} - 1 = (n + 1) 2^{n} - 1

である。この式は $n = 1$ のときも $(1 + 1) 2^{1} - 1 = 3 = a_{1}$ を満たす。したがって $a_{n} = (n + 1) 2^{n} - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。

京都大学 2023年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2023年度
文系数学第4問