京都大学 2022年度理系数学第6問解答・解説

問題

数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ を次の式

x_{1} = 0, x_{n + 1} = x_{n} + n + 2 cos (\frac{2 π x _{n}}{3}) (n = 1, 2, 3, \dots),

y_{3 m + 1} = 3 m, y_{3 m + 2} = 3 m + 2, y_{3 m + 3} = 3 m + 4 (m = 0, 1, 2, \dots)

により定める．このとき，数列 ${x_{n} - y_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：京都大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

まず実験的に $x_{n} - y_{n}$ が $0, 1, 3, 6, \dots$ となることを見て、 $n (n - 1) /2$ を予想する。そこで $z_{n} = y_{n} + n (n - 1) /2$ とおき、 $z_{1} = x_{1}$ かつ $z_{n}$ が $x_{n}$ と同じ漸化式を満たすことを示す。 $y_{n + 1} - y_{n}$ は $n (mod 3)$ で $2, 2, - 1$ と周期的に変わる。また $z_{n} (mod 3)$ も $0, 0, 1$ と周期的なので、 $2 cos (2 π z_{n} /3)$ が同じ $2, 2, - 1$ になることを確認する。

解答

求める一般項は $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ であることを示す。

そこで $z_{n} = y_{n} + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ とおく。 $y_{1} = 0$ であるから $z_{1} = 0 = x_{1}$ である。あとは $z_{n}$ が $x_{n}$ と同じ漸化式を満たすことを示せばよい。

まず $y_{n}$ の差を調べる。定義より $y_{3 m + 1} = 3 m, y_{3 m + 2} = 3 m + 2, y_{3 m + 3} = 3 m + 4$ であるから

y_{n + 1} - y_{n} = {2 - 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

次に $z_{n}$ を3で割った余りを調べる。 $n = 3 m + 1, 3 m + 2, 3 m + 3$ の場合に分けると、 $z_{3 m + 1} = 3 m + \frac{3 m ( 3 m + 1 )}{2} \equiv 0 (mod 3),$ $z_{3 m + 2} = 3 m + 2 + \frac{( 3 m + 1 ) ( 3 m + 2 )}{2} \equiv 0 (mod 3),$ $z_{3 m + 3} = 3 m + 4 + \frac{( 3 m + 2 ) ( 3 m + 3 )}{2} \equiv 1 (mod 3)$ である。したがって

2 cos \frac{2 π z _{n}}{3} = {2 - 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

一方、 $z_{n}$ の差は

z_{n + 1} - z_{n} = (y_{n + 1} - y_{n}) + \frac{( n + 1 ) n - n ( n - 1 )}{2} = (y_{n + 1} - y_{n}) + n .

上で見た場合分けより $y_{n + 1} - y_{n} = 2 cos \frac{2 π z _{n}}{3}$ であるから $z_{n + 1} = z_{n} + n + 2 cos \frac{2 π z _{n}}{3}$ となる。

これは $x_{n}$ の漸化式 $x_{n + 1} = x_{n} + n + 2 cos (\frac{2 π x _{n}}{3})$ と同じ形であり、初項も $z_{1} = x_{1} = 0$ と等しい。したがって帰納法により $x_{n} = z_{n}$ である。よって $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。

京都大学 2022年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

京都大学 2022年度
理系数学第6問