問題
曲線 ，軸および軸で囲まれる図形の面積をとする．とし，上の点と原点，および，を頂点にもつ長方形の面積をとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) を求めよ．
(2) は最大値をただ1つのでとることを示せ．そのときのをとすると，であることを示せ．
(3) を示せ．
出典：京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
(1)は として直接積分する。(2)では とおき、微分して と因数分解する。 が狭義減少し、端で符号が変わることから最大点がただ1つ存在する。最大点 では なので、これを に代入する。(3)は 、 から を得て、 と を評価する。
解答
(1)
求める面積は である。 とおくと であり、 だから
(2)
長方形 の横の長さは 、縦の長さは なので である。 で微分すると
である。
ここで とおく。すると である。したがって は で狭義減少する。また
であるから、 となる はただ1つ存在する。 なので、 の符号は の符号と同じである。よって はそのただ1つの零点まで増加し、その後減少する。したがって は最大値をただ1つの でとる。
その を とする。 より である。 なので であり、 である。したがって である。
(3)
まず の範囲を押さえる。 について である。これは より従う。また
である。 は狭義減少なので である。
したがって である。後者より であるから である。一方、 より である。よって となる。両辺を正の で割ると である。すなわち である。
(1)より だから である。