問題
を正の実数とする．直線と曲線との2つの交点のうち，座標が正のものを，負のものをとする．また，と軸との交点をとし，と軸との交点をとする．が条件
を満たしながら動くとき，線分の中点の軌跡を求めよ．
出典：京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
直線と双曲線の交点を直接解かず、交点の 座標を二次方程式の2解として扱う。解と係数の関係から中点の座標を と出す。距離比については、 は切片から直ちに求まり、 は根の差と を使って の 倍であることを示す。条件から が決まるので、中点座標から文字を消去する。
解答
曲線 と直線 の交点を考える。交点では であるから、直線の式に代入して となる。 なので両辺に をかけると である。
この二次方程式の2解を とする。 より積 であるから、2つの交点は一方が 、もう一方が にある。したがって問題の に対応している。
解と係数の関係より である。また交点の 座標は だから、線分 の中点 は であり、
である。よって である。
次に距離比を求める。直線 と軸との交点は であるから である。
一方、
である。また なので、 座標の差の2乗は である。したがって
すなわち である。
条件 より である。したがって である。
中点を とすると であるから である。また より である。
逆に、 を満たす点に対して とおけば かつ となり、上の条件を満たす。したがって求める軌跡は である。