問題
平面上の2直線は直交し，交点の座標はである．また，はともに曲線に接している．このとき，およびで囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
放物線 の接点を として接線を表す。2接線の接点を とすると、直交条件から 、交点の 座標から が得られる。これで接点 が決まり、交点を境に左右それぞれで放物線と接線の差を積分する。差は という平方になるので、積分の途中式も短く整理できる。
解答
放物線 の における接線を求める。 の傾きは であるから、接線は すなわち である。
2本の接線の接点の 座標を とする。接線の傾きはそれぞれ なので、2直線が直交する条件は であり、 である。
また、2本の接線 の交点の 座標は、 として より である。これが だから である。
したがって は の2解であり、 である。対応する接線は であり、交点の 座標は である。
接線は放物線の下側にある。左側では で接する接線、右側では で接する接線が境界になるので、求める面積 は
ここで
であるから
したがって求める面積は である。
別解。接線の接点を とすると、放物線とその接線の差は である。接点が 、2接線の交点が両接点の中点 にあるため、左右の面積は等しく、それぞれ である。したがって全体の面積は と求められる。