問題
四面体が
を満たしているとする．を辺上の点とし，の重心をとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) を示せ．
(2) が辺上を動くとき，の最小値を求めよ．
出典：京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第5問・理系第4問
方針
を 軸に置いて座標化する。与えられた長さから はどちらも の平面上にあることが分かり、さらに を満たすように 座標を取る。 を 上のパラメータで表すと、 の 座標は常に2である。重心 から を計算し、 成分が0であることから垂直性を示す。最小値は を の二次式にして求める。
解答
なので、座標を とおく。
まず より、 とすると である。差をとると である。回転してよいので とおける。
同様に より、 の 座標も2である。 とおくと である。また より である。この2式の差をとると となるので である。したがって であり、向きを選んで とおく。 を辺 上の点とし、 と表す。このとき
であり、 の 座標は常に2である。 の重心は であるから である。 の 座標は4、 の 座標は2なので、 の 成分は である。 は 軸方向のベクトルだから、 は と垂直である。これで(1)が示された。
次に の最小値を求める。上の式より である。 成分は0なので
平方完成すると である。 は に含まれるので、最小値は である。したがって である。
別解。(1)だけなら座標計算をさらに短くできる。 より は線分 の垂直二等分平面上にあり、 より も同じ平面上にある。したがって辺 上の任意の点 もこの平面上にあり、 方向への射影は常に の中点である。すなわち の 方向成分は である。よって は 方向成分を持たず、 は に垂直である。