京都大学 2022年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5$ であることを示せ．ただし， $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ であることは用いてよい．

出典：京都大学 2022年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

上側は対数の底を変えず、 $2022 < 2048 = 2^{11}$ から直ちに $lo g_{4} 2022 < 11/2$ と評価する。下側は $lo g_{4} 2022 > 5.4$ を常用対数に直し、 $lo g_{10} 2022 > 10.8 lo g_{10} 2$ を示せばよい。左辺は $2022 > 2000$ で下から押さえ、右辺は与えられた $lo g_{10} 2 < 0.3011$ で上から押さえる。最後に割る量 $2 lo g_{10} 2$ が正であることも確認する。

解答

まず上側を示す。 $2022 < 2048 = 2^{11}$ であり、対数関数 $lo g_{4} x$ は $x > 0$ で増加するから $lo g_{4} 2022 < lo g_{4} 2^{11} = \frac{11}{2} = 5.5$ である。

次に下側を示す。底の変換公式より

lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{lo g _{10} 4} = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2}

である。 $lo g_{10} 2 > 0$ なので、 $lo g_{4} 2022 > 5.4$ を示すには $lo g_{10} 2022 > 10.8 lo g_{10} 2$ を示せばよい。

左辺について、 $2022 > 2000 = 2 \cdot 1 0^{3}$ より $lo g_{10} 2022 > lo g_{10} 2000 = 3 + lo g_{10} 2$ である。与えられた $lo g_{10} 2 > 0.301$ から $3 + lo g_{10} 2 > 3.301$ である。

一方、右辺について、与えられた $lo g_{10} 2 < 0.3011$ から $10.8 lo g_{10} 2 < 10.8 \cdot 0.3011 = 3.25188$ である。したがって $lo g_{10} 2022 > 3.301 > 3.25188 > 10.8 lo g_{10} 2$ となる。よって $lo g_{4} 2022 > 5.4$ である。

以上より $5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5$ が示された。

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