問題
縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である．% 図は省略
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第5問・理系第5問
方針
条件は4次のラテン方陣の数え上げである。数字の名前を入れ替えて第1行をに固定し、さらに第1列の下3つの並びをに固定した「標準形」を数える。第2行は列の重複を避けるため3通りに絞られ、それぞれの完成数を調べると合計4通りになる。最後に、第1列の下3つの並べ方と第1行の数字の並べ方を戻す。
解答
まず数字の名前を入れ替えることにより、第1行を に固定して数える。最後に第1行の並べ方を掛ければよい。
さらに、第1行を固定したまま行を入れ替えることで、第1列を に固定した標準形を数える。この固定では、あとで第1列の下3つの並べ方を掛け戻す。
標準形を数える。第2行は先頭が2であり、残りはである。また第3列に3、第4列に4を置くことはできない。したがって第2行の候補は の3通りである。
それぞれを完成させると、標準形は次の4通りに限られる。
実際、第2行がのときは第3行第2列の値が3か4かで2通りに分かれ、第2行がまたはのときは残りが一意に決まる。
したがって標準形は4通りである。第1列の下3つの並べ方が通り、第1行の数字の並べ方が通りあるので、求める総数は である。