京都大学 2020年度
文理共通数学 文系第4問・理系第3問

解答

とおく。4点は半径1の球面上にあるので、これらのベクトルはいずれも長さ1である。また $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ より $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=1+1+2\cdot \frac{1}{2}=3$ である。そこで $\vec{u}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{\sqrt{3}}$ とおくと、$\vec{u}$は単位ベクトルである。

条件から $\vec{c}\cdot (\vec{a}+\vec{b})=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ なので $\vec{c}\cdot \vec{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。また $\vec{d}\cdot (\vec{a}+\vec{b})=2k$ より $\vec{d}\cdot \vec{u}=\frac{2k}{\sqrt{3}}$ である。

さらに $\vec{c}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0,\vec{d}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$ である。したがって$\vec{c}$と$\vec{d}$は、$\vec{a}-\vec{b}$方向の成分をもたない。$\vec{u}$に垂直で、かつ$\vec{a}-\vec{b}$にも垂直な向きの単位ベクトルを$\vec{v}$とすると、ある符号を用いて $\vec{c}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{u}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{v}$ と書ける。また

と書ける。ただし$\epsilon =\pm 1$である。

ここで$\vec{c}\cdot \vec{d}=1/2$を用いる。もし$\epsilon =-1$なら、$\vec{u}$方向の積も$\vec{v}$方向の積も負になり、内積が正の$1/2$になることはない。よって$\epsilon =1$である。したがって $\frac{1}{2}=-k\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}$ である。

右辺の平方根を移項して $\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}=\frac{1}{2}+k\sqrt{\frac{2}{3}}$ とする。両辺は正であるから平方してよい。すると $\frac{1}{2}-\frac{2k^2}{3}=\frac{1}{4}+k\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2k^2}{3}$ であり、$16k^2+12k\sqrt{\frac{2}{3}}-3=0$ を得る。この二次方程式の正の解は $\boxed{k=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}}$ である。