問題
半径1の球面上の5点，，，，は，正方形を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき，四角錐の体積の最大値を求めよ。
出典：京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第5問・理系第5問
方針
球の中心を とし、底面の正方形を含む平面と との距離を とする。底面の平面が球と交わる円の半径は であり、この円に内接する正方形の面積が底面積の最大になる。頂点 は底面平面の反対側で、平面から最も遠い球面上の点に取ると高さが最大になる。したがって体積は だけの関数 になり、 で微分して最大値を求める。
解答
球の中心を とする。底面の正方形 を含む平面と との距離を とおく。
この平面と半径1の球面との交わりは、半径 の円である。正方形 はこの円に内接するとき面積が最大になる。半径 の円に内接する正方形の対角線は なので、その面積は である。したがって底面積は最大で である。
底面の平面が決まったとき、頂点 は底面の反対側で球面上にあり、かつその平面から最も遠い点に取ると高さが最大になる。その高さは である。よって体積 は である。 で最大値を求める。微分すると である。したがって は で増加し、 で減少する。最大は のときである。
このとき
である。