問題
1つのさいころを回続けて投げ，出た目を順にとする。このとき次の条件をみたす確率をを用いて表せ。ただしとしておく。
条件： をみたすのうち，かつが成立するようなの値はただ1つである。
出典：京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第4問
方針
さいころの目を と の2状態に分ける。 は とみなせる。条件は、状態列において から へ変わる箇所がちょうど1回であること。したがって状態列は、最初にいくつか が続き、1つの連続した のブロックがあり、その後は だけが続く形に限られる。 ブロックの長さを として、その位置の選び方と確率を足し合わせ、最後に等比和を整理する。
解答
とおく。 は に属すると考えられる。すると条件は、状態が から に変わる回数がちょうど1回であることと言い換えられる。
この条件を満たす状態列では、 が現れる部分は1つの連続したブロックでなければならない。もし の後に が現れ、その後さらに が現れれば、 から への移行が2回以上になってしまうからである。
したがって、 の連続する長さを とすると、 であり、そのブロックの開始位置は の 通りである。ある位置に長さ の ブロックがある確率は である。よって求める確率 は
である。
これを整理する。 である。ここで とおくと である。両辺を2倍して引き算すると
である。
したがって
である。