問題
四面体は，を満たすとし，辺の中点を，辺の中点をとする．
(1) 辺と線分は垂直であることを示せ．
(2) 線分を含む平面で四面体を切って2つの部分に分ける．このとき，2つの部分の体積は等しいことを示せ．
出典：京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第6問
方針
中点 を原点に取り， を反対向きのベクトル で表す。同様に の位置を とし， を と表す。辺長条件 ， を2乗して展開すると，， が得られ，ここから を導く。(2)は同時に も出ることを用い， を軸とする180度回転が ， を入れ替える対称性で体積を二等分する。
解答
(1)
点 を原点とする。 は の中点なので，あるベクトル を用いて と表せる。また の位置ベクトルを とし， が の中点であることから，あるベクトル を用いて と表す。
条件 より である。右辺は であるから，差を取ると すなわち である。
同様に より であり，これは を与える。2つの式を引くと である。
ここで である。したがって となり，辺 と線分 は垂直である。
(2)
上で得た2つの式 を足すと である。よって は だけでなく にも垂直である。
直線 を軸として空間を180度回転させることを考える。この回転では の方向はそのまま保たれ， に垂直な成分は符号が反対になる。いま も も に垂直であるから，この回転によって
となる。すなわち である。
平面 は軸 を含むので，この180度回転で平面 は自分自身に移る。また，この回転は平面 の両側を入れ替える。したがって，平面 によって分けられた四面体の2つの部分は，この回転により互いに移り合う。回転は体積を保つので，2つの部分の体積は等しい。