問題
が素数となるような整数をすべて求めよ．
出典：京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第2問
方針
整数 について が成り立つことを使い， が常に3で割り切れることを示す。素数は正の約数を1と自分自身しかもたない正の整数なので，3で割り切れる素数なら値は3に限られる。あとは を因数分解して整数解を求め，実際に値が3になることを確認する。
解答
任意の整数 について である。したがって であり， は常に3で割り切れる。
この値が素数であるとする。素数は正の整数であり，しかも3で割り切れるので，その値は でなければならない。よって を解けばよい。これは すなわち である。したがって を得る。
実際，これらの値では となるので素数である。以上より，求める整数は である。