問題
正四面体において，点，，をそれぞれ辺，，上にとる．ただし，，は四面体の頂点とは異なるとする．が正三角形ならば，3辺，，はそれぞれ3辺，，に平行であることを証明せよ．
出典：京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
正四面体の1辺を1に規格化し、、、 と置く。 なので余弦定理で を で表せる。正三角形条件から3つの長さが等しい。 のうち最大のものを としてよいので、等式の因数分解で正の因子を消し、、続いて を導く。最後に3点が各辺を同じ比で内分するため、対応する辺が底面の辺に平行であることを相似で述べる。
解答
正四面体の1辺の長さを1としてよい。点 は頂点ではないので とおくと である。
正四面体では である。したがって余弦定理より であり、同様に である。 は正三角形なので である。 のうち最大のものを、文字の名前を入れ替えて としてよい。すなわち として考える。
まず より である。整理すると すなわち である。ここで かつ だから である。よって を得る。
次に より であり、整理して すなわち である。いま なので である。したがって を得る。以上より である。
したがって はそれぞれ を同じ比で内分する点である。このとき三角形 と は相似であり、 である。同様に である。よって3辺 はそれぞれ に平行である。