問題
1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする．
出典：京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第1問
方針
並びを と置き，中央の数 が両辺に共通して現れることに注目する。条件は から に簡約されるので，まず を固定し，残り4個の数を同じ和をもつ2組に分けられるかを調べる。最後に，左右どちらの組を1,2番目に置くか，各組内の順序をどうするかを掛ける。
解答
並びを と表す。すべての並べ方は 通りであり，これらは同様に確からしい。
条件は である。中央の は両辺に共通しているので，これは と同値である。
そこで中央の数 を固定する。残り4個の数の和は である。これを2組に分け，それぞれの和が等しくなるためには， が偶数でなければならない。したがって は奇数であり， の場合だけを考えればよい。
それぞれの場合を確認する。 のとき，残りは で，和は である。各組の和は でなければならないので，組分けは である。 のとき，残りは で，和は である。各組の和は であり，組分けは である。 のとき，残りは で，和は である。各組の和は であり，組分けは である。
各 について，2つの組のうちどちらを 側に置くかが 通りある。また， の順序が 通り， の順序も 通りある。したがって条件を満たす並べ方は 通りである。
よって求める確率は である。