京都大学 2009年度
文理共通数学 文系第5問・理系第5問

解答

$(p^n)!$とは $1\cdot 2\cdot 3\cdots p^n$ である。この積を素因数分解したとき，素因数$p$が全部で何個現れるかを数えれば，$(p^n)!$が$p$で割り切れる回数が分かる。

まず，$1,2,\dots ,p^n$の中で$p$の倍数は $\frac{p^n}{p}=p^{n-1}$ 個ある。これらの数は，少なくとも1個の$p$を因数にもつ。したがって，この段階で$p^{n-1}$個分の$p$を数えたことになる。

ただし，これだけでは足りない。例えば$p^2$の倍数は $p^2\cdot m$ の形をしているので，すでに$p$の倍数として1個分は数えられているが，さらにもう1個分の$p$を余分にもっている。したがって，$p^2$の倍数の個数を追加で数える必要がある。その個数は $\frac{p^n}{p^2}=p^{n-2}$ 個である。

同様に，$p^3$の倍数は，$p$の倍数として1回，$p^2$の倍数としてもう1回数えられたあと，さらに追加でもう1個分の$p$をもつ。その追加分は $\frac{p^n}{p^3}=p^{n-3}$ 個である。

このように考えると，$p^r$の倍数は，$p$を少なくとも$r$個含む数に対応しており，$r$個目の$p$を数えるために $\frac{p^n}{p^r}=p^{n-r}$ 個を加えればよい。ただし$r=1,2,\dots ,n$である。$r=n$のときは$p^n$の倍数がちょうど1個あり，それより高い$p^{n+1}$の倍数は$p^n$以下には存在しない。

したがって，$(p^n)!$に含まれる素因数$p$の個数は $p^{n-1}+p^{n-2}+\cdots +p+1$ である。これは初項1，公比$p$，項数$n$の等比数列の和と見れば $1+p+p^2+\cdots +p^{n-1}=\frac{p^n-1}{p-1}$ である。よって求める回数は $\boxed{\frac{p^n-1}{p-1}}$ である。