京都大学 2009年度文理共通数学文系第3問・理系第3問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ は $x \neq = 1$ ， $y \neq = 1$ をみたす正の数で，不等式

lo g_{x} y + lo g_{y} x > 2 + (lo g_{x} 2) (lo g_{y} 2)

をみたすとする．このとき $x$ ， $y$ の組 $(x, y)$ の範囲を座標平面上に図示せよ．

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第3問

方針

底を2にそろえるため $a = lo g_{2} x$ ， $b = lo g_{2} y$ と置く。 $x \neq = 1, y \neq = 1$ より $a, b \neq = 0$ であり，不等式は $((a - b)^{2} - 1) / (ab) > 0$ に整理される。そこで $ab > 0$ と $ab < 0$ に分ける。 $ab > 0$ は $x, y$ がともに1より大きい，またはともに1より小さい場合， $ab < 0$ は片方だけが1より大きい場合である。 $∣ a - b ∣$ の条件は $a - b = lo g_{2} (x / y)$ から直線 $y = 2 x$ ， $y = x /2$ で表す。

解答

$a = lo g_{2} x, b = lo g_{2} y$ とおく。 $x > 0, y > 0$ であり， $x \neq = 1, y \neq = 1$ なので $a \neq = 0, b \neq = 0$ である。

底の変換公式より $lo g_{x} y = \frac{l o g _{2} y}{l o g _{2} x} = \frac{b}{a}, lo g_{y} x = \frac{a}{b}$ であり，また $lo g_{x} 2 = \frac{1}{a}, lo g_{y} 2 = \frac{1}{b}$ である。したがって与えられた不等式は $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2 + \frac{1}{ab}$ となる。左辺をまとめると $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} - 2 - \frac{1}{ab} > 0$ であり， $\frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2} - 1}{ab} > 0$ すなわち $\frac{( a - b ) ^{2} - 1}{ab} > 0$ である。

よって場合分けする。

(i)

$ab > 0$ のとき。このとき $(a - b)^{2} - 1 > 0$ であるから $∣ a - b ∣ > 1$ である。 $ab > 0$ は $a, b$ が同符号であること，すなわち $(x - 1) (y - 1) > 0$ に対応する。また $a - b = lo g_{2} \frac{x}{y}$ なので， $∣ a - b ∣ > 1$ は $\frac{x}{y} > 2 または \frac{x}{y} < \frac{1}{2}$ すなわち $y < \frac{x}{2} または y > 2 x$ である。

(ii)

$ab < 0$ のとき。このとき分母が負なので $(a - b)^{2} - 1 < 0$ であり， $∣ a - b ∣ < 1$ である。 $ab < 0$ は $(x - 1) (y - 1) < 0$ に対応する。また $∣ a - b ∣ < 1$ は $\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$ すなわち $\frac{x}{2} < y < 2 x$ である。

以上より，求める範囲は

(x - 1) (y - 1) > 0 かつ (y > 2 x または y < \frac{x}{2})

または $(x - 1) (y - 1) < 0 かつ \frac{x}{2} < y < 2 x$ である。ただし $x > 0, y > 0, x \neq = 1, y \neq = 1$ である。図示すると，第一象限から直線 $x = 1$ ， $y = 1$ ， $y = 2 x$ ， $y = x /2$ を境界として除き，同符号領域では2本の斜線の外側，異符号領域では2本の斜線の内側を取る。

京都大学 2009年度文理共通数学 文系第3問・理系第3問

問題

方針

解答

(i)

(ii)

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文理共通数学文系第3問・理系第3問