問題
定数は実数であるとする．方程式を満たす実数はいくつあるか．の値によって分類せよ．
出典：京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第4問
方針
積の方程式なので，2つの2次方程式 と を別々に調べる。第1因子は判別式 で実根数が変わり，第2因子は判別式 により常に異なる2実根をもつ。ただし2つの因子が同じ実数解を持つ場合は重複して数えないため，共通解の条件を代入で求める。最後に の範囲で個数を分類する。
解答
方程式は であるから， または を満たす実数 を数えればよい。
まず第1因子について，判別式は である。したがって実数解の個数は
である。
次に第2因子について，判別式は であり，これは常に正である。したがって第2因子はすべての実数 に対して異なる2個の実数解をもつ。
ただし，2つの2次方程式が共通解をもつ場合は，その解を二重に数えてはいけない。共通解 があるとする。第1式から である。これを第2式に代入すると より である。さらに第1式から となるので，
である。したがって共通解があるのは のときに限られ，このとき共通解は1個である。なお である。
以上をまとめると，実数解の個数は
である。