問題
である二等辺三角形を考える．辺の中点をとし，辺を延長した直線上に点を，となるようにとる．このときとなることを示せ．ただし，点は辺上にはないものとする．
出典：京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第3問
方針
座標を置くなら， として から を得る。 は辺 の外側で なので である。あとは から見た への方向を比べ， と の正接がともに になることを示す。別解として，三角形 における角の二等分線定理を用いると， から直接示せる。
解答
とおく。 であるから， は中心 ，半径2の円上にあり，また二等辺三角形の対称性から の垂直二等分線上にある。よって とおける。辺 の中点は である。
点 は直線 上で辺 上にはなく， を満たす。 が の外側にあるとして とおくと であるから である。 の反対側にあるとすると比は となり にならない。したがって である。
点 から見た方向ベクトルは
である。 は鉛直下向きなので， とのなす角について である。
次に，直線 の傾きは ，直線 の傾きは である。2直線のなす角の正接を用いると
どちらの角も と の間の角であり，正接が等しいので である。
別解。三角形 を考える。点 は辺 上にあり， である。また なので， である。したがって角の二等分線定理の逆より， は の二等分線である。ゆえに であり，これは と同じである。