京都大学 2006年度後期・文理共通数学後期文系第5問・理系第6問解答・解説

問題

$tan 1^{\circ}$ は有理数か。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第5問・理系第6問

$tan 1^{\circ}$ が有理数だと仮定する。正接の加法定理を繰り返すと $tan k^{\circ}$ は $k = 1, \dots, 60$ で全て有理数になるが、 $tan 6 0^{\circ} = 3$ は無理数なので矛盾する。途中の分母が0でないことも角度から確認する。

$t = tan 1^{\circ}$ が有理数であると仮定する。正接の加法定理から

tan ((k + 1)^{\circ}) = \frac{tan k ^{\circ} + t}{1 - t tan k ^{\circ}} .

$1 ≦ k ≦ 59$ では $(k + 1)^{\circ} < 9 0^{\circ}$ なので右辺の分母は0ではない。したがって、 $tan k^{\circ}$ が有理数なら $tan ((k + 1)^{\circ})$ も有理数である。

$tan 1^{\circ} = t$ は有理数と仮定したので、このことを順に用いると $tan 6 0^{\circ}$ も有理数となる。しかし

tan 6 0^{\circ} = 3 .

$3$ が有理数とすると、互いに素な自然数 $p, q$ により $3 = p / q$ と表せる。すると $p^{2} = 3 q^{2}$ から $p$ は3の倍数となり、さらに $q$ も3の倍数となって互いに素であることに反する。よって $3$ は無理数である。

以上は矛盾であるから、

tan 1^{\circ} は無理数である。