京都大学 2006年度後期・文理共通数学後期文系第3問・理系第1問解答・解説

問題

1次式 $A (x), B (x), C (x)$ に対して、 ${A (x)}^{2} + {B (x)}^{2} = {C (x)}^{2}$ が成り立つとする。このとき $A (x)$ と $B (x)$ はともに $C (x)$ の定数倍であることを示せ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第3問・理系第1問

実数係数の1次式 $C (x)$ は実数の根を1つもつ。その根を恒等式へ代入すると、平方の和が0になるので $A, B$ も同じ根をもつ。1次式は根が等しければ互いに定数倍である。

$C (x)$ は1次式なので、ある実数 $α$ を用いて

C (x) = c (x - α) (c \neq = 0)

と表せる。与えられた恒等式に $x = α$ を代入すると

{A (α)}^{2} + {B (α)}^{2} = 0

となる。 $A (α), B (α)$ は実数であるから

A (α) = B (α) = 0.

$A (x), B (x)$ も1次式なので、ある実数 $a, b$ が存在して

A (x) = a (x - α), B (x) = b (x - α)

と表される。よって

A (x) = \frac{a}{c} C (x), B (x) = \frac{b}{c} C (x) .

したがって $A (x), B (x)$ はともに $C (x)$ の定数倍である。