京都大学 2006年度
文理共通数学 文系第4問・理系第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系・理系共通
- 分野
- 関数、積分
- 解法
- 対称性の利用、接線・法線、面積計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
関数y=f(x)のグラフは，座標平面で原点に関して点対称である．さらにこのグラフのx≦0の部分は，軸がy軸に平行で，点(−21,41)を頂点とし，原点を通る放物線と一致している．このときx=−1におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第3問
方針
まず x≦0 側の放物線を，頂点と原点を通る条件から式に直す。原点に関する点対称性は f(−x)=−f(x) を意味するので，x≧0 側の式も決まる。次に x=−1 での接線を求め，左側では接点 x=−1，右側では接線と右側の放物線の交点 x=1+2 までで囲まれることを確認する。面積は [−1,0] と [0,1+2] に分けて積分する。
解答
x≦0 の部分の放物線は，頂点が (−1/2,1/4) であるから y=a(x+21)2+41 と書ける。原点を通るので 0=a⋅41+41 より a=−1 である。したがって f(x)=−(x+21)2+41=−x2−x(x≦0) である。
グラフは原点に関して点対称だから，f(−x)=−f(x) である。x≧0 のとき −x≦0 なので f(x)=−f(−x)=−{−(−x)2−(−x)}=x2−x である。 x=−1 では f(−1)=0,f′(x)=−2x−1(x<0) より f′(−1)=1 である。したがって接線は y=x+1 である。
左側では x+1−(−x2−x)=(x+1)2 であり，x=−1 で接して x=0 まで囲まれる。右側では接線と y=x2−x の交点を求めると x+1=x2−x すなわち x2−2x−1=0 である。x≧0 の交点は x=1+2 である。よって求める面積 S は
S=∫−10{x+1−(−x2−x)}dx+∫01+2{x+1−(x2−x)}dx
である。
第1項は ∫−10(x+1)2dx=31 である。第2項は，a=1+2 とおくと
∫0a(−x2+2x+1)dx=[−3x3+x2+x]0a=−3a3+a2+a
である。a2=3+22，a3=7+52 より −3a3+a2+a=35+42 である。したがって S=31+35+42=2+342 である。求める面積は 2+342 である。
