京都大学 2006年度
文理共通数学 文系第3問・理系第1問

解答

整式 $P(x)$ を2次式 $Q(x)$ で割ると $P(x)=A(x)Q(x)+R(x)$ と書ける。ただし余り $R(x)$ は $0$ であるか，または1次以下の整式である。いま $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れないので，$R(x)\ne 0$ である。

この式を平方すると $P(x{)}^2=A(x{)}^{2}Q(x{)}^2+2A(x)Q(x)R(x)+R(x{)}^2$ である。右辺の初めの2項は $Q(x)$ で割り切れるので，$P(x{)}^2$ を $Q(x)$ で割った余りは，$R(x{)}^2$ を $Q(x)$ で割った余りと同じである。ところが仮定より $P(x{)}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるから，$Q(x)$ は $R(x{)}^2$ を割り切る。

ここで $R(x)$ が0でない定数なら $R(x{)}^2$ も0でない定数であり，2次式 $Q(x)$ で割り切れることはありえない。したがって $R(x)$ は1次式である。$R(x)=ax+b$ $a\ne 0$ と書くと，$R(x{)}^2$ と $Q(x)$ はどちらも2次式で，$Q(x)$ が $R(x{)}^2$ を割り切るので，ある0でない定数 $c$ によって $R(x{)}^2=cQ(x)$ と書ける。つまり $Q(x)=\frac{1}{c}(ax+b{)}^2$ である。したがって2次方程式 $Q(x)=0$ は $ax+b=0$ を2重に持つ。ゆえに $Q(x)=0$ は重解を持つ。

別解。もし $Q(x)=0$ が異なる2つの解 $\alpha ,\beta$ を持つなら，$Q$ が $P^2$ を割り切ることから $P(\alpha {)}^2=0,P(\beta {)}^2=0$ となり，$P(\alpha )=P(\beta )=0$ である。すると $P$ は異なる2つの1次因子を持つ $Q$ で割り切れることになり，仮定に反する。したがって異なる2解は持てず，重解を持つ。