京都大学 2005年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$α + β + γ = 18 0^{\circ}$ 、 $α, β, γ ≧ 0^{\circ}$ のとき、 $cos α + cos β + cos γ ≧ 1$ を示せ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

$cos α + cos β$ を積に直し、 $α + β = 18 0^{\circ} - γ$ を使う。残りは $∣ α - β ∣ ≦ α + β$ と、0度から90度で余弦が減少することによって評価する。

和積公式と $α + β = 18 0^{\circ} - γ$ から

cos α + cos β + cos γ = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} + cos γ = 2 sin \frac{γ}{2} cos \frac{α - β}{2} + 1 - 2 sin^{2} \frac{γ}{2} = 1 + 2 sin \frac{γ}{2} {cos \frac{α - β}{2} - sin \frac{γ}{2}} .

ここで

sin \frac{γ}{2} = cos \frac{α + β}{2} .

また $∣ α - β ∣ ≦ α + β ≦ 18 0^{\circ}$ であり、余弦は $0^{\circ}$ から $9 0^{\circ}$ で減少するから

cos \frac{α - β}{2} = cos \frac{∣ α - β ∣}{2} ≧ cos \frac{α + β}{2} = sin \frac{γ}{2} .

さらに $sin (γ /2) ≧ 0$ なので、上の式から

cos α + cos β + cos γ ≧ 1

が従う。