京都大学 2005年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が3直線 $y = x, y = 2 x - 1, y = 3 x - 3$ のすべてと接するとき、 $a, b, c$ を求めよ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

各直線と放物線を連立した2次方程式が重解をもつ条件、すなわち判別式0を3本分立てる。隣り合う2式の差をとると $a, b$ の1次方程式になり、最後に $c$ を戻す。

直線 $y = m x + d$ と放物線の共有点の $x$ 座標は

a x^{2} + (b - m) x + (c - d) = 0

を満たす。接するための条件は

(b - m)^{2} - 4 a (c - d) = 0

である。3直線について

(b - 1)^{2} = 4 a c, (b - 2)^{2} = 4 a (c + 1), (b - 3)^{2} = 4 a (c + 3)

を得る。第2式から第1式を引き、第3式から第2式を引くと

- 2 b + 3 = 4 a, - 2 b + 5 = 8 a .

これらを解いて $b = 1/2, a = 1/2$ である。第1式へ戻すと

\frac{1}{4} = 2 c

だから $c = 1/8$ となる。よって

(a, b, c) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}) .