京都大学 2005年度後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第4問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ で、 $G$ を $△ A B C$ の重心、 $P$ を $O G$ を $t : 1 - t$ に内分する点とする。直線 $A P, B P, C P$ と向かい合う面との交点をそれぞれ $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ とするとき、 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ が $△ A B C$ と相似であることを示し、相似比を $t$ で表せ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第4問・理系第4問

方針

$O$ を原点とし、 $A, B, C$ の位置ベクトルを $a, b, c$ とする。直線 $A P$ 上の点を係数表示し、面 $O B C$ 上にあるため $a$ の係数が0という条件から $A^{'}$ を求める。3点の差をとれば対応する辺がすべて平行になる。

解答

$O$ を原点とし、 $A, B, C$ の位置ベクトルを $a, b, c$ とする。重心と内分点の位置ベクトルは

O G = \frac{a + b + c}{3}, O P = \frac{t}{3} (a + b + c)

である。

直線 $A P$ 上の点を

a + λ {\frac{t}{3} (a + b + c) - a}

と表す。これが面 $O B C$ 上にあるためには $a$ の係数が0でなければならない。よって

1 + λ (\frac{t}{3} - 1) = 0, λ = \frac{3}{3 - t} .

したがって

O A^{'} = \frac{t}{3 - t} (b + c) .

同様に

O B^{'} = \frac{t}{3 - t} (c + a), O C^{'} = \frac{t}{3 - t} (a + b) .

ここで $k = t / (3 - t)$ とおくと

A^{'} B^{'} = k (a - b) = k B A,

また同様に各辺が $△ A B C$ の対応する辺と平行で、長さは $k$ 倍である。よって $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ は $△ A B C$ と相似で、相似比は

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{t}{3 - t}

である。

京都大学 2005年度後期・文理共通数学 後期 文系第4問・理系第4問

問題

方針

解答

京都大学 2005年度
後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第4問